SEMANA 6

DISEÑOS CON CURVAS DE TRANSICION

La recta y la curva circular, con el fin de dar cabida a la curva de transición, no pueden quedar, en general tangentes; es preciso separar la curva circular de la tangente para que tenga espacio el enlace. El diagrama de la Figura 1.3 corresponde al de una curva circular con transiciones.

 La curvatura en las tangentes es O, en la curva circular corresponde a la recta en la que p=l/Re y en las curvas de transición la variación de la curvatura entre los valores anteriores corresponde a líneas rectas inclinadas respecto al eje de las abscisas. 

CURVAS DE TRANSICIÓN EN CARRETERAS.

En un trazado donde solo se emplean rectas y círculos, la curvatura pasa bruscamente desde cero en la tangente hasta el valor finito y constante en la curva. Esta discontinuidad de curvatura en el punto de unión de los alineamientos rectos con las curvas circulares no puede aceptarse en un trazado racional, pues además de ser incomoda para el conductor puede ser causa de accidentes debido a la fuerza centrifuga.

Por otra parte, para alcanzar en la curva circular la inclinación transversal de la vía en las curvas llamada peralte requerido a todo lo largo de ella, debe pasarse de la inclinación transversal hacia ambos lados del eje de la vía en la parte recta llamada bombeo del alineamiento recto de dicho peralte.

De estas consideraciones surge la necesidad de emplear un alineamiento de transición entre los alineamientos rectos y curvos de una carretera, a través del cual la curvatura pase gradualmente desde cero hasta el valor finito de la curvatura circular, a la vez que la inclinación transversal de la calzada pase también paulatinamente desde el bombeo al peralte. En las carreteras modernas, la transición de un elemento de tanta importancia como el circulo y la recta.

Su uso se hace obligatorio para evitar ópticas de los bordes de la vía, a la vez de la necesidad de adaptar el trazado a la configuración del terreno al comportamiento usual que la mayoría de los conductores induce a su empleo. Diversos procedimientos se han utilizado para efectuar la transición de la curvatura entre los alineamientos rectos y circulares.

Es así que el enlace de dos alineamientos rectos se puede realizar mediante el uso del arco de circulo de radio precedido y seguido por una curva de transición de radio variable, o utilizando las curvas de transición sin arco de círculos intermedios. Cualquiera que sea el procedimiento que se seleccione para realizar la transición de una carretera, esta debe satisfacer los requerimientos exigidos por la dinámica del movimiento, la maniobrabilidad del vehiculo, el confort del conductor y la geometría del trazado.

Curvas de transición 

Generalidades

 Las curvas de transición, son espirales que tienen por objeto evitar las discontinuidades en la curvatura del trazo, por lo que, en su diseño deberán ofrecer las mismas condiciones de seguridad, comodidad y estética que el resto de los elementos del trazo. Con tal finalidad y a fin de pasar de la sección transversal con bombeo (correspondiente a los tramos en tangente), a la sección de los tramos en curva provistos de peralte y sobreancho, es necesario intercalar un elemento de diseño, con una longitud en la que se realice el cambio gradual, a la que se conoce con el nombre de longitud de transición. 

 Tipo de curva de transición Se adoptará en todos los casos, la clotoide como curva de transición cuyas ventajas son: 

 El crecimiento lineal de su curvatura permite una marcha uniforme y cómoda para el usuario, de tal modo que la fuerza centrífuga aumenta o disminuye en la medida que el vehículo ingresa o abandona la curva horizontal, manteniendo inalterada la velocidad y sin abandonar el eje de su carril. 

 La aceleración transversal no compensada, propia de una trayectoria en curva, puede controlarse graduando su incremento a una magnitud que no produzca molestia a los ocupantes del vehículo. 

 El desarrollo del peralte se logra en forma también progresiva, consiguiendo que la pendiente transversal de la calzada aumente en la medida que aumenta la curvatura. 

 La flexibilidad de la clotoide permite acomodarse al terreno sin romper la continuidad, mejorando la armonía y apariencia de la carretera. La ecuación de la clotoide (Euler) está dada por: R L = A2 ......(*) 

Dónde:

 R : radio de curvatura en un punto cualquiera. 

L : Longitud de la curva entre su punto de inflexión (R =∞) y el punto de radio R.

 A : Parámetro de la clotoide, característico de la misma. 

En el punto de origen, cuando L = 0, R = ∞, y a su vez, cuando L = ∞, R = 0 

ELEMENTOS DE CURVAS DE TRANSICION Y ANGULO DE LA ESPIRAL

- LA CLOTOIDE COMO CURVA DE TRANSICIÓN.

            Numerosas curvas satisfacen los requerimientos de regulación citados, a través de una variación uniforme de la curvatura deberá ser proporcional a algún elemento de la curva de transición.

            Entre las curvas de transición más frecuentemente empleadas pueden citarse la espiral de Cornu o Clotoide, el óvalo, la lemniscata de Bernoulli, la parábola cúbica, etc. De todas estas, la más ampliamente utilizada en carreteras es la Clotoide; su forma se ajusta a la de la trayectoria recorrida por un vehículo que viaja a velocidad constante y cuyo volante es accionado en forma uniforme.

            La Clotoide fue analizada en el año de 1860 por Maxvon Leber, e introducida en la práctica de la ingeniería por L. Oerly en el año 1937.

CLASIFICACIÓN Y ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE.

            La Clotoide permite enlazar un alineamiento recto con otro circular, o viceversa; dos alineamientos rectos ó dos alineamientos circulares de igual a contrario sentido.

            En el primer caso, cuando el enlace entre el alineamiento recto y la curva , se hace con una Clotoide, ésta recibe el nombre de Clotoide Simple.

           

DIBUJO DE CLOTOIDE SIMPLE

Si la curva circular entre las dos Clotoides, la de entrada y la de salida, se elimina, se obtiene la Clotoide doble, Clotoide de Transición Total o Clotoide de vértice.

             

DIBUJO DE CLOTOIDE DE VERTICE

            Cuando dos arcos de circulo de sentido contrario, sin tangente intermedia, conectan con dos arcos de Clotoide revertidas, resultan las Clotoides en S ó curvas de inflexión.

DIBUJO DE CLOTOIDE EN S

            En una Clotoide hay que distinguir los siguientes elementos, los cuales se señalan en la figura:

 CURVA CIRCULAR CON CLOTOIDES Y SUS ELEMENTOS

            PI: Punto de intersección de las tangentes.

            TE: Punto común de la tangente y la curva espiral.

            ET: Punto común de la curva espiral y la tangente.

            EC: Punto común de la curva espiral y la circular.

            CE: Punto común de la curva circular y la espiral.

            PC: Punto donde se desplaza el TE o TS de la curva circular.

            Delta: Angulo de deflexión entre las tangentes.

            Ø : Angulo de deflexión entre la tangente de entrada y la tangente en un punto cualquiera de la Clotoide.

            Øe : Angulo de deflexión entre las tangentes en los extremos de la curva espiral.

            Delta c : Angulo que subtiene el arco EC-CE.

            Rc : Radio de la curva circular.

            R: Radio de la curvatura de la espiral en cualquiera de sus puntos.

            le : Longitud de la espiral.

            l : Longitud de la espiral desde el TE hasta un punto cualquiera de ella.

            lc : Longitud de la curva circular.

            Te : Tangente larga de la espiral.

            Xc, Yc : Coordenadas del EC.

            k,p : Coordenadas del PC de la curva circular.

            Ee : Externa de la curva total.

            np: Angulo de deflexión de un punto P de la Clotoite

            V: Velocidad de proyecto.

CALCULO DE LOS ELEMENTOS

 ECUACIONES DE LA CLOTOIDE.

            1)  Øe = (90.Le)/(¶.R)

             2)  Delta c = Delta- 2.Øe

                 (Delta es el ángulo Delta)                

             3)   Xc = Le{1 - [(Øe)²/10] + [(Øe)⁴/216] + [(Øe)⁶/9360]}           Øe: (radianes).

           

 4)    Yc = Le{[(Øe)/3] - [(Øe)⁵/1320]}

           

  5)   K = Xc - R.SenØe

           

               6)  P = Yc - R.(1 - CosØe)

                7)  Te = K + (R+P).Tg(Delta/2)

                 8)  Ee = [(R+P)Sec (Delta/2)] - R

                  9) TL = Xc - Yc.CotØe

                  10)  TC = Yc/(SenØe)

                  11)  Le >= 30 m

         12) Le>= 0.0522[(V³/R)] - 6.64.V.P        R<500m   V(km/h)   Le(m)  R(m)  P:Peralte (en decimal)

            13)  Xe = Le

            14)  Ye (Le)²/(6.R)

             15)  n_p= (Øp/3) - Cp

              16)  Cp = [0.528.(Øp)³]/10⁴          Cp(´ en minutos)         Ø (° en grados)

               17)  Xp = Lp(1 - Øp/10 + Ø⁴/216   - Ø⁶p/9360)

               18)  Yp = Lp( Øp/3  -  سp/42 +  Ø⁵p/1320)

.-REPLANTEO DE LAS CURVAS EN ESPIRAL.

 REPLANTEO DE LOS PUNTOS PRINCIPALES DE LA ESPIRAL.

            Los puntos TE y ET se ubican, colocando PI, llevados a partir de este sobre los alineamientos la distancia TE-PI o vinculando la traza de la vía a la poligonal de estudio.

            En cuanto a los puntos EC y CE se pueden ubicar utilizando los siguientes métodos:

METODO DE LAS TANGENTES.

            El método de las tangentes consiste en determinar las tangentes largas y corta de la espiral, además del ángulo de deflexión entre las tangentes en los extremos de la curva espiral. Para ello se utilizan las expresiones ya conocidas:

TL = X - Y CotØe         TC = Y / SenØe         Qe = Le/2.Rc

DIBUJO DE MÉTODOS DE TANGENTES

PROCEDIMIENTO DE CAMPO

            Desde el punto TE y sobre el alineamiento TE-PI, utilizando cinta métrica, llevamos la distancia tangente larga (TL). Estacionamos en el nuevo punto con el teodolito visamos a PI y llevamos el ángulo Øe, luego sobre este nuevo alineamiento llevamos la tangente corta (CT). Así que ubicado el punto EC. De la misma manera pero partiendo desde ET se puede replantear el punto CE.

METODO DE COORDENADAS RECTANGULARES.

            El método consiste en tomar como eje del sistema cartesiano una de las dos tangentes (abscisa) y perpendicularmente el eje de las ordenadas.

DIBUJO METODO DE COORDENADAS RECTANGULARES

            Para los puntos EC y CE las coordenadas rectangulares se pueden determinar utilizando las siguientes expresiones:

            Xe = Le                         Ye = (Le²)/6.Rc

PROCEDIMIENTO DE CAMPO.

            Desde el punto TE y sobre el alineamiento TE-PI, utilizando cinta métrica, llevamos la distancia Xe (abscisas) y perpendicularmente desde el nuevo punto se lleva la distancia Ye (ordenadas). Así queda ubicado el punto EC.

            De la misma manera pero partiendo desde ET se puede replantear el punto CE.

REPLANTEO DE LOS PUNTOS INTERMEDIOS DE LA ESPIRAL.

METODO DE COORDENADAS RECTANGULARES.

            Para determinar las coordenadas rectangulares de un punto intermedio, se utilizan las siguientes expresiones:

           

            Øe = (90.Le)/(¶.Rc)

            Øp = Øe.(Lp/Le)²

            Xp = Lp.[1 - (Øp/10) + (Ø⁴p/216) - (Ø⁶p)/9360]

            Yp = Lp.[(Øp/3) - (سp)/42 + (Ø⁵p)/1320]

PROCEDIMIENTO DE CAMPO.

            Desde el punto TE (ó ET) y sobre el alineamiento TE-PI (ó ET-PI) utilizando cinta métrica, llevamos las abscisas y perpendicularmente desde el nuevo punto llevamos las ordenadas.

(DIBUJO DE REPLANTEO DE PUNTOS INTERMEDIOS POR RECTANGULARES)

METODO DE COORDENADAS POLARES.

            Este método sirve para replantear toda la espiral desde una sola estación del teodolito bien sea desde TE o ET. Utilizando las siguientes expresiones:

            n = (Øp/3) - c                       c = [0.528.(سp)/10⁴]    c en (´),  Ø en (°)

            Donde Øp es el ángulo entre la tangente principal y la tangente en un punto P y se puede calcular utilizando la expresión:

                        Øp = Øe (Lp/Le)²

            Donde Lp es igual a la longitud entre TE ó ET y el punto P. C es una corrección.

      PROCEDIMIENTO DE CAMPO.

            Estacionados, con el teodolito en TE o ET, visamos el punto PI y giramos el ángulo de deflexión. Sobre este nuevo alineamiento llevamos la cuerda que va a ser igual a Lp. De esta manera replanteamos todos los puntos intermedios de la espiral, lo cual se indica en la figura:

(DIBUJO DE REPLANTEO DE PUNTOS INTERMEDIOS POLARES)